See artikkel uurib, mis on ortonormaalne alus maatriksi kohta ja kuidas neid MATLABis leida, kasutades orth() funktsiooni.
Mis on maatriksi ortonormaalsed alused
Lineaaralgebras on ortonormaalne alus Lõpliku mõõtmega vektorruumi V on aluseks, millel on ortonormaalsed vektorid kus on ortonormaalsed vektorid on ühikvektorid, mis on üksteise suhtes ortogonaalsed, mis tähendab, et nende punktkorrutis on null.
Vaatleme kaheühikulisi vektoreid x ja y, need on üksteise suhtes ortogonaalsed, kui 'x.y=0' . Neid kahte vektorit nimetatakse ka ortonormaalsed vektorid .
Miks on vaja ortonormaalset alust arvutada?
Ortonormaalne alus on kasulik vektori projektsiooni leidmiseks teisele vektorile või kahe vektori vahelise kauguse leidmiseks. Võime kasutada ka an ortonormaalne alus et vähendada ümardamisviga meie simulatsioonides ja selle ainus põhjus on see, et ortonormaalses aluses olevad vektorid on üksteisest sõltumatud, seega ei saa viga ühes vektoris levida teistele vektoritele. Lisaks on koordinaatide leidmine ja lineaarse teisenduse teostamine palju lihtsam, kui meie alus on ortonormaalne.
Kuidas leida MATLABis maatriksi ortonormaalset alust?
MATLABis leiame ortonormaalne alus kasutades sisseehitatud orth() funktsioon, mis vastutab määramise eest ortonormaalne alus antud maatriksist. See funktsioon aktsepteerib maatriksi kohustusliku parameetrina ja annab maatriksi väljundina, mis sisaldab parameetrit ortonormaalne alus antud sisendmaatriksist.
Süntaks
The orth() funktsiooni saab MATLABis rakendada järgmiste süntaksite kaudu:
Q = orth ( A,tol )
Siin
- Funktsioon Q = orth(A) vastutab selle kindlaksmääramise eest ortonormaalne alus A vahemiku jaoks, kus väljundmaatriksi Q veerud tähistavad ortonormaalne alus maatriksi A ja nad saadavad maatriksi A vahemikku rämpsposti. Samuti võrdub maatriksi A aste Q veergude arvuga.
- Funktsioon Q = orth(A,tol) vastutab selle kindlaksmääramise eest ortonormaalne alus tolerantsi täpsustava vahemiku A jaoks. Sisendmaatriksi A ainsuse väärtusi, mis on tolerantsist väiksemad, käsitletakse nullina, mõjutades Q veergude arvu.
Näide 1: Kuidas leida MATLABis täisastmemaatriksi ortonormaalset alust?
See MATLAB-kood määrab ortonormaalne alus antud ruutmaatriksist A, mille suurus on n=3, kasutades orth() funktsiooni. See kood leiab ka maatriksi A auastme, kasutades koht() funktsiooni sisendmaatriksi täieliku järjestuse kontrollimiseks.
A = [ 1 0 -1 ; 1 2 0 ; 0 1 - 3 ] ;r = auaste ( A )
Q = orth ( A )
Näide 2: Kuidas arvutada MATLABis astmepuuduliku maatriksi ortonormaalset alust?
Selles näites kasutame orth() funktsiooni leidmiseks ortonormaalne alus antud astmepuuduliku maatriksi A. Maatriks A on astmepuudulik, sest auaste(K)
r = auaste ( A )
Q = orth ( A )
Näide 3: Kuidas leida täisastmemaatriksi ortonormaalset alust, määrates MATLABis tolerantsi?
Antud näide arvutab välja ortonormaalne alus antud täisjärgu ruutmaatriksist A, mille suurus on n = 3 kasutades orth() funktsioon vaiketolerantsiga. Kuna A on täisastme maatriks, on A ja Q suurus (ortogonaalne alus) on sama, mis on antud juhul 3×3. Seejärel arvutab näide välja ortonormaalne alus A-st, määrates tolerantsi väärtuse 0,5, et lugeda A väärtused, mis on väiksemad kui 0,5, ainsuse väärtustena. A-s on kolm ainsuse väärtust, seega on A-l kaks ortonormaalset veeruvektorit, mis sisalduvad Qtol maatriks.
A = rand ( 3 ) ;r = auaste ( A )
Q = orth ( A )
Q_tol = orth ( A, 0.5 )
Järeldus
Leida ortonormaalne alus vektorruum on oluline lineaaralgebra kontseptsioon, mis on keeruline matemaatiline probleem. Seda saab aga lihtsalt ja tõhusalt lahendada MATLABi sisseehitatud funktsioonide abil orth() funktsiooni. See artikkel on tutvustanud selle funktsiooni rakendamist erinevate süntaksite ja näidete abil.